Les principaux codes éléments finis permettant de modéliser des élastomères en utilisant une loi de Ogden. Attention suivant les logiciels (Marc, Abaqus, Ansys, etc ) il ne faut pas saisir les mêmes informations.
Utiliser directement les paramètres trouvés dans un logiciel n’est pas forcement possible
Loi d’Ogden
Un modèle hyper-élastique suppose l’existence d’un potentiel densité d’énergie interne W , fonction scalaire de la mesure des déformations. Selon la loi de comportement choisie ce potentiel s’écrit de façon différente. Dans le cadre de ce post, nous nous concentrons sur la forme proposée par Ogden en 1972 ( Ogden, R. W., (1972). Large Deformation Isotropic Elasticity – On the Correlation of Theory and Experiment for Incompressible Rubberlike Solids, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Vol. 326, No. 1567 (1 February 1972), pp. 565–584.)
Chaque éditeur de logiciels éléments finis a choisi une façon différente de décrire la fonction W. Je vous laisse consulter les documentations de chaque logiciel pour plus d’information.
- Pour Marc
$$
W = \sum_{i=1}^{N} \frac{\mu_{i}}{\alpha_{i}} \cdot \left [ J^{-\alpha_{i}/3} \left (\lambda _{1}^{\alpha_{i}} + \lambda _{2}^{\alpha_{i}} + \lambda _{3}^{\alpha_{i}} – 3 \right ) \right ] + \sum_{i=1}^{N} D_{i} (J-1)^{2i}
$$
- Pour Abaqus
$$
\begin{matrix}
W = \sum_{i=1}^{N} \frac{2 \cdot \mu_{i}}{\alpha_{i}^{2}} \cdot (\overline{\lambda} _{1}^{\alpha_{i}} + \overline{\lambda} _{2}^{\alpha_{i}} + \overline{\lambda} _{3}^{\alpha_{i}} – 3) + \sum_{i=1}^{N} \frac{1.0}{D_{i}} (J_{el}-1)^{2i}
\\
\\
Avec : \overline{\lambda_{i}}=J^{-1/3} \lambda_{i}\
\\
\\
Et : \overline{\lambda}_{1} \cdot \overline{\lambda}_{2} \cdot \overline{\lambda}_{3} = 1
\end{matrix}
$$
- Pour Ansys
$$
\begin{matrix}
W = \sum_{i=1}^{N} \frac{\mu_{i}}{\alpha_{i}} \cdot \left ( \overline{\lambda} _{1}^{\alpha_{i}} + \overline{\lambda} _{2}^{\alpha_{i}} + \overline{\lambda} _{3}^{\alpha_{i}} – 3 \right ) + \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{D_{k}} (J-1)^{2k}
\\
\\
Avec : \overline{\lambda_{i}}=J^{-1/3} \lambda_{i}\
\\
\\
Et : \overline{\lambda}_{1} \cdot \overline{\lambda}_{2} \cdot \overline{\lambda}_{3} = 1
\end{matrix}
$$
Principales conversions
Comme vous pouvez le voir les différentes expressions ne sont pas identiques. Le tableau ci-dessous vous permet de faire les conversions entre les différentes formulations en fonction de vos données en entrée et le logiciel que vous utilisez. Par simplification seule la loi d’Ogden d’ordre 1 (N=1) est pris en compte. Cependant l’extension à l’ordre N se fait de la même façon
| Entrée | Sortie | \(\mu_{i}\) | \(\alpha_{i}\) | \(D_{i}\) / \(K_{i}\) |
| Marc | Abaqus |
\( \mu_{Marc} = 2 \cdot \frac{\mu_{Abaqus}}{\alpha_{Abaqus}} \)
|
\( \alpha_{Marc} = \alpha_{Abaqus} \) | \( K_{0} = \frac{2}{d_{i}}\) |
| Ansys | Abaqus |
\( \mu_{Ansys} = 2 \cdot \frac{\mu_{Abaqus}}{\alpha_{Abaqus}} \)
|
\( \alpha_{Ansys} = \alpha_{Abaqus} \) | \( d_{Abaqus} ={d_{Ansys}}\) |
Rappel général sur les élastomères
Je ne vais pas détailler ici les principales lois de comportement des élastomères, ni vous donner des paramètres pour différents matériaux pour les raisons suivantes :
- Chaque élastomère est différent (Composition chimique, process de fabrication, etc, ..)
- Chaque pièce est différente. La caractérisation correcte d’un élastomère est à faire dans la plage de fonctionnement de la pièce finale. Il n’est pas raisonnable d’utiliser les paramètres obtenus pour une déformation de 20% et les utiliser pour des déformations de 200%
- Chaque loi de comportement est différente. La meilleur loie de comportement est celle qui est obtenue à partir des données sur le bon matériau et sur la bonne plage de déformation. Le choix d’une loi (Ogden, Mooney-Rivlin, etc…) doit être fait à partir des essais.
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